인터스텔라 - 시간지연에 대한 풀이
인터스텔라 - 시간지연에 대한 풀이
이 글은 지난 일요일에 쓴 글입니다.
일요일이다. 어제 병원에 다녀와서 어디 나갈수도 없고 해서 지난 주 친구와 봤던 인터스텔라에 대한 이야기 중 시간지연과 중력방정식등에 대해 정리를 해볼 요량으로 리뷰를 쓴다.
글은 1,2편으로 나눌생각인데 1편에서는 특수상대론과 시간지연에 대해서 2편에서는 일반상대론과 블랙홀, 웜홀을 이야기할 것이다.
다들 알다시피 현재까지 알려진 자연계의 4가지 힘에는 중력(gravity), 전자기력, 강한 핵력, 약한 핵력이 있다.그리고 중력은 위의 4가지 힘중에서 가장 약한 힘이다. 그러나 물체의 운동, 태양계에서의 행성운동, 별, 은하 등 거시적인 물체들의 운동을 설명하려면 이 중력에 대해 알아야한다. 물론 영화를 이해하기 위해서도 마찬가지다.
중력. 즉 뭔가를 잡아당기는 이 힘을 이론적으로 설명한 첫 번째 사람은 뉴튼이다. 물론 뉴튼 이전 시대에도 중력에 대한 설명이 없었던 것은 아니나 당시(아리스토텔레스이후)에는 물체들간의 운동은 접촉에 의해서만 생긴다고 생각할 정도로 논리적이지 못했다. 이러던 것이 시간이 흘러 15세기이후부터 엄청난 발견이 잇달아 나오게 된다.
그 첫 주자는 폴란드의 성직자이자 과학자인 코페르니쿠스였다. 그는 천체관측을 통해 지구가 정지하지 않고 움직인다고 생각했고 이런 생각에서부터 지구는 태양을 중심으로 돈다(지동설)는걸 발견했는데 천동설을 부정한 댓가로 죽은 후 묘비에 아무 표식없이 묻혔다.
독일의 천문학자였던 케플러는 '모든 행성은 태양을 중심으로 타원궤도로 움직인다'는것을 알아냈다.
그리고 교황앞에서 '그래도 지구는 돈다'고 독백했던 갈릴레오는 힘을 받지 않는 물체는 등속운동(속력이 일정한 운동)을 하며 물체를 가속시키기 위해서는 밀어주는 힘이 필요하다는 사실을 알아냈다. 여기에 자유낙하실험을 통해 지구상의 모든 물체는 물체의 크기나 구조와 상관없이 가속도로 낙하(9.8m/s)한다는 사실도 알아냈다. (아래 사진 참조)
진공상태에서 모든 물체는 크기나 모양 질량과 상관없이 같은 속도로 떨어진다. 왜냐하면 진공상태이기 때문에 공기의 저항이 없기 때문에 물체는 모두 중력가속도g의 영향을 똑같이 받기 때문이다. 여기서 진공과 무중력은 다른개념이다. 무중력은 중력이 없는것이라 두 물체를 떨어뜨리면 공중에 뜬다. 이 실험은 최근 나사에 있는 진공챔버에서 이루어진 실험이다.
그리고 마침내 영국의 수학자이고 물리학자였던 뉴튼에 와서 이것들을 망라한 중력법칙을 발표하는데 예를 들어 달은 지구를 중심으로 원운동을 하고 지구는 태양 주위를 돌고 물체가 땅에 떨어지는 이유가 물체끼리 서로 인력이 작용하기 때문이라는 것을 알아냈다. 이로써 뉴튼에 와서 모든 물체와 천체들의 운동이 어떻게 이루어지는지 밝혀낸것이다.
이 말을 이해하려면 우선 빛을 알아야한다. 그래야 빛보다 빠른게 왜 없는건지 그리고 시간이 왜 필요한지 이해할 수 있기 때문이다.
빛의 입자성 - 뉴튼은 빛은 직진하거나 반사하며 입자라고 주장했다. 이후 실험을 통해 입자를 증명하는데 예를 들어 금속판에 어떤 크기 이상의 진동수를 가진 빛을 비추면 금속판에서 전자가 방출된다(이것을 광전효과라고 하는데 아인슈타인이 노벨상을 탄 게 광전효과에 관한 것이며 이후 플랑크의 양자가설의 물리적 의미인 입자-파성의 이중성에 대한 논의는 이후 미시세계에 대한 기초인 양자역학의 확립으로 이어진다)
빛의 속도 - 빛의 속도는 약 30만km/s다. 만약 지구에서 달에 빛을 쏘면 약 1초가 조금 넘는 시간안에 빛은 달에 도달(지구와 달 사이의 거리는 약 38만km)하게 된다. 태양은 약 8분 20초정도 걸리고. 또한 빛의 속도는 빨라지거나 느려지지거나 멈추지 않고 계속 빛의 속도로 움직이는데 그 이유는 아래와 같다.
다른 예를 들어보자. 오른쪽으로 v의 속도로 움직이는 기차가 있다. 기차 안에는 사과 한개가 놓여있다. 이 때 기차 안에 있는 사람은 사과가 정지한 것으로 보일 것이다. 그러나 기차 밖에 있는 사람은 사과가 기차와 같은 속도로 움직이는 것으로 보일 것이다.
위치의 상대성 : 만약 정지한 기차에서 사과를 떨어뜨리면 기차 안에 있는 사람이나 밖에 있는 사람이나 똑같이 수직으로 떨어져 보인다. 그러나 움직이는 기차에서 떨어뜨리면 기차 안의 사람은 수직으로 떨어지는것처럼 보이지만 밖에 있는 사람은 포물선을 그린다고 말할 것이다. 즉 사과의 움직임은 관찰자에 따라 다르게 보이는 것이다.
이 실험을 통해 우리는 속도 = 거리 / 시간 공식에서 속도와 거리(위치)는 절대적이지 않고 관찰자에 따라 달라지는 상대적 개념이라는 것을 이해했다. 그러면 이제 물리량인 거리와 속도가 상대적이면 시간도 상대적이지 않을까? 라고 물을 수 있지 않을까?
시간의 상대성 : 이 그림은 기차안에 있는 사람과 밖의 관찰자가 같은 위치에 서있고 기차의 양 끝에서 동시에 번개가 쳤다고 가정한 것이다(왼쪽그림) 이 경우 두 사람은 모두 양쪽에서 동시에 번개가 친것으로 보인다. 이번엔 기차가 1초의 시간동안 오른쪽으로 이동했을때(가운데그림)를 생각해보자. 그러면 기차안에 있는 사람은 오른쪽 번개가 먼저 친것으로 보일것이다. 그러나 기차 밖의 관찰자는 동시에 번개가 친 것으로 볼 것이다. 이것은 오른쪽 그림도 마찬가지다.
아인슈타인은 두 번째 그림을 통해 어떤 일이 일어나는 순서(시간)는 보는 사람(관찰자의 위치)에 따라 다르다(시간의 상대성)고 했다.
이것을 통해 우리는 물체가 움직인 시간도 관찰자에 따라 다르게 움직인다는 결론에 도달하게 된다. 즉 어떤 사람에게는 먼저 움직인것으로 보이고 어떤 사람에겐 늦게 움직인 것으로 보인다.
이제 드디어 특수상대론에서 이야기하는 시간지연현상을 이해할 차례다. 우리는 지구의 7년이 어떤 행성에서는 1시간과 같은 이유를 알기 위해 여기까지 왔다. 그리고 이제 조금만 더 가면 시간이 지연되는 이유를 알수 있게 된다.
마이컬슨-몰리 실험
시속 100km로 달리는 기차안에서 새가 같은 방향으로 시속 10km로 날면 새의 속도는 110km가 된다. 만약 새가 아니라 불빛을 같은 방향으로 비추면 기차속도 100 + 빛 30만 = 30만 100km의 속도가 되야한다. 그러나 미국인들인 마이컬슨과 몰리는 빛은 예외임을 알게됐다. 즉 달리는 기차에서 빛을 같은 방향으로 비출때도 빛의 속도가 30만+100이 아닌 30만킬로미터로 나온 것이다.
우리는 속도=거리/시간이라는 것을 알고 있다. 그런데 기차가 달리기 때문에 거리가 커졌는데도 속도가 그대로 30만이라는 것은 시간이 늘어난 것 외에는 설명할 길이 없게 된다. 아인슈타인은 이것을 빛은 어느 관찰자가 측정하더라도 일정하며 시간은 늘어난다고 이해했는데 이것이 바로 특수상대성이론이다.
시간지연
아주 커다란 기차(높이가 30만km)가 있고 그 안에서 빛을 위로 쏜다고 가정하자. 정지해있는 기차안에서 빛을 위로 쏘면 빛이 기차 천장에 도달하는 시간은 1초가 된다.(빛은 1초에 30만킬로미터를 움직이므로) 이것은 기차 밖에서 관찰해도 마찬가지다.
그러면 이번엔 기차가 왼쪽에서 오른쪽으로 움직인다고 생각해보자. 기차 안에 있는 사람이 볼 때 빛이 천장에 도달하는 시간은 역시 1초다. 그러나 기차 밖에서 보는 경우에는 기차가 움직이고 있기 때문에 빛의 이동거리가 늘어난다.
v = r / t (r = 이동거리, t = 시간 )
식으로 표현하면 정지했을때 빛의 속도는 기차 안에서나 밖의 관찰자에게나 똑같이 30만km/s = 30만km / 1초다. 기차가 움직이는 경우에는 기차 안에 있는 사람은 똑같이 30만km/s이지만 기차 밖에 있는 관찰자는 기차가 움직이면서 이동거리가 늘어났으므로 빛의 속도 30만km/s = 빛의 이동거리(대각선방향) + 시간(t)가 된다. 예를 들어 빛이 60만 킬로미터 이동했다면 식은 30 = 60/t가 되고 시간 t = 2가 된다. 이것을 통해 알 수 있는 것은 움직이는 기차 안에 있는 사람이 보는 빛은 1초의 시간동안 움직이지만 기차 밖에 서있는(정지한) 사람에게는 2초가 지난 것으로 보인다. 즉 움직이는 사람에게 흐르는 1초는 정지한 사람이 느끼는 2초와 같다는 것으로 시간은 움직이는 사람이 정지한 사람보다 느리게 간다는 것이다.
이것을 간단한 식으로 증명하면 아래와 같다.
x = 기차의 이동거리, y = 움직이는 기차안에서 볼때 빛의 이동거리, z = 움직이는 기차밖에서 볼때 빛의 이동거리v = 기차의 속도, c = 빛의 속도, t = 움직이는 기차안에서 볼때 빛이 이동한 시간, T = 움직이는 기차밖에서 볼때 빛이 이동한 시간
x^2 + y^2 = z^2 ----- 양변을 z^2로 나누면
(x/z)^2 + (y/z)^2 = 1
(x/z)^2 = 1 - (y/z)^2
∴ x/z = √1-(y/z)^2 ----- ⑴
v = r/t 식에서 거리와 시간은 비례관계이므로
y : t = z : T
yT = zt
∴ y/z = t/T ----- ⑵
거리와 속도 역시 비례관계이므로
x : v = z : c
xc = vz
∴ x/z = v/c ----- ⑶
⑴⑵⑶식을 연결하면 아래와 같이 된다.
v/c = x/z = √1-(t/T)^2
양변을 제곱하면
(v/c)^2 = 1 - (t/T)^2, (t/T)^2 = 1 - (v/c)^2
t/T = √1 - (v/c)^2
∴ t = T * √(1 - (v/c)^2 ----- ⑷
√(1 - (v/c)^2 >0 때문에 t < T 가 된다.
즉 움직이는 기차 안에 있는 사람이 볼 때의 빛의 이동시간t는 움직이는 기차 밖에서 볼 때의 빛이 이동한시간T보다 작다는 것(느리게 움직인다)을 의미한다.
이것을 아래와 같이 생각할수도 있다.
신호등에 어떤 사람이 서있다. 건널목 사이의 걸리가 10미터일때 이 사람이 건너지 않고 서있으면 시간은 계속 흘러가지만 움직이지 않고 있기 때문에 거리는 0이 된다. 또다른 사람은 건널목을 10초에 걸어간다. 또 다른 사람은 5초에 뛰어간다. 그러면 또 어떤 사람은 빛의 속도로 뛰어간다. 그러면 건널목을 건너는 시간은 점점 줄어들어서 나중에는 0이 될 것이다. 즉 움직이는 속도가 빠를수록 시간은 0에 수렴하고 속도가 느릴수록 시간은 늘어나게 된다.
그러면 이제 우리는 움직이는 물체의 시간은 정지한 물체의 시간보다 느리게 움직인다는 것을 식을 유도해서 알아냈다. 그런데 여기서 아인슈타인은 움직이는 물체는 시간만 느려지는게 아니라 질량이 늘어나고 길이는 줄어든다고 했다.
거리와 시간은 비례관계이기 때문에
t = T * √(1 - (v/c)^2 ----- ⑷ 이 식에서 시간을 거리로 치환하면
y = z * √(1 - (v/c)^2
따라서 움직이는 물체의 길이는 정지한 물체보다 짧다.
그러면 질량은 왜 늘어날까? 어떤 물체에 힘을 주면 그 힘은 물체에 일을 공급하기 때문에 물체의 운동에너지가 증가한다. 예를 들어 내가 달리기를 하는데 뒤에서 누가 밀어주면 내 운동에너지는 더 증가해서 더 빨리 달리는 것과 같은 원리다. 하지만 우주 안의 어떤 물체도 빛보다 빠르지 않기 때문에 그 물체에 계속 힘을 공급해도 그 물체의 속력은 빛의 속도를 능가하지 못한다. (기차가 오른쪽으로 움직일때 기차안에서 빛을 같은 방향으로 비춰도 빛의 속도는 기차의 속도+빛의 속도가 아니라 그냥 빛의 속도라는걸 알고 있다) 하지만 에너지는 보존되야 하므로(에너지보존법칙) 힘을 계속 가하면 에너지가 증가하기 때문에 질량이 늘어나게된다. 이것은 운동에너지를 부분적분시키면 유도(KE = mc^2)되는데 여기서는 생략하기로 한다.
다만 이러한 유도를 통해 ⑷식은 m = m0 * √(1 - (v/c)^2 즉 운동하는 물체는 정지하고 있는 물체보다 질량이 늘어난다.
다음편에서는 중력은 시공간을 휘게 한다는 일반상대성이론과 블랙홀, 웜홀에대해 알아보도록 하겠다.
댓글
댓글 쓰기